المعادلات

بسم الله الرحمن الرحيم




المعادلات
المعادلة:هي اداة رياضية للتعبير عن التساوي بين مقدارين يحتوي احدهما أو كليهما على رموز تسمى المجاهيل
مثل:
س+5=17
4س+3=11
3س+7=س+13
2س+5ص=7
ملاحظات:
1.ان اضافة اوطرح مقدار متساولطرفي المعادلة يؤدي إلى ان يبقى الطرفان متساويان بعد الاضافة او الطرح ونتيجة لذلك يمكن نقل احد الحدود من الطرف إلى طرف اخر بتغير اشارتة الجبرية.
2.ان ضرب طرفا المعادلة او قسمتهما على نفس المقدار يبقى الطرفان متساويان بعد الضرب او القسمة.
3.ان رفع طرفا المعادلة الى نفس القوى يبقى الطرفان متساويان بعد الرفع.
4.ان جذرا طرفي المعادلة يكونان متساويان.
حل المعادلات:
هي تحديد القيم التي تتخذها المجاهيل حتى يتحقق التساوي بين الطرفين.
واذا كانت المعادلة تحتوي على مجهول واحد فإن القيم التي تحققها تسمى بجذر المعادلة.وتتوقف طريقة حل المعادلة على درجتها وعلى عدد المجاهيل التي تحتويها.
وتكون المعادلة من الدرجة الاولى اذا كان اكبر قوة تتخذها المجاهيل في المعادلة هي واحد صحيح.
وتكون المعادلة من الدرجة الثانية اذا كان اعلى قوة يمكن ان تتخذها المجاهيل تساوي 2 فالمعادلة 3س2+5س=18 من الدرجة الثانية.
حل المعادلة من الدرجة الاولى ذات المجهول الواحد:
ان معادلة الدرجة الاولى ذات المجهول صورتها:
أ س+ب =صفر حيث أ ≠ صفر.
وبذلك يكون حالها كالتالي:
س=-ب .
أ

حل معادلة الدرجة الاولى ذات المجهولين:
ان معادلة الدرجة الاولى ذات المجهولين صورتها:
أ س+ب ص=ح حيث أ، ب،ح ثوابت و القيمتين أ،ب ليستا صفراً.
ولحل المعادلة لابد من وجود معادلة أخرى من نفس النوع وعندئذ
يكون لدينا معادلتان يقال لهما أنهما معادلتان آنيتان ذات مجهولين،ونحتاج لتحديد قيم هذين المجهولين التي تحقق المعادلتين في نفس الوقت أي نحتاج إلى حلهما آنيا.
تستخدم احدى الطرق الاتية الحل المعادلات
1.استنتاج قيمة احد المجهولين بدلالة المجهول الاخر من احدى المعادلتين
ثم التعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية.
مثال:4س-ص=3
2س+ص=9
الحل:من المعادلة الاولى نجد ان:
4س=ص+3
س= ص+3
4

وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية:
2ص+3+ص=9
2
ص+3+2ص=18
3ص=18-3=15
ص= 15 =5
3
2.ان الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية ذات المجهول الواحد هي:
أس2 + ب س+ج=صفر.
بنقل ج للطرع الآخرينتج ان:
أس2 +ب س+ب2=ب2-ج  
أ  4أ2 4أ2 أ
و بالتحليل للعوامل ينتج ان:
(س+ب)(س+ب)=ب2-4أ2
2أ 2أ 4أ2


وبايجاد الجذر التربيعي للطرفين ينتج ان:
س+ب=+ ب2-4أح
4أ2
س=-ب = + ب2-4أح
2أ
س=-ب+ ب2-4أح

أي أن الجذر الاول للمعادلة يتحقق عندما:
س= -ب + ب2-4أح
2أ

والجذر الثاني للمعادلة يتحقق عندما :
س= -ب - ب2-4أج
2أ